Признак лейбница сходимости знакопеременных рядов. Знакопеременный ряд. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Определение

Ряд называется знакопеременным , если он содержит как положительные, так и отрицательные члены.

Пример 16. Ряды

,
,

являются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды, очевидно, являются частным случаем знакопеременных рядов.

Для знакопеременного ряда возникает вопрос о связи его сходимости со сходимостью знакоположительного ряда .

ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости)

Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Доказательство. Из сходимости ряда по свойству 3 сходящихся рядов следует сходимость ряда
. Действительно, поскольку
, где
, то по первому признаку сравнения сходится и ряд
.

Отсюда следует, что ряд
также сходится, так как является алгебраической суммой двух сходящихся рядов.

В доказанной теореме сформулирован достаточный признак сходимости ряда . Обратное утверждение в общем случае неверно.

Определения

Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .

Пример 17.
.

Общий член этого ряда
. Так как
, то ряд
расходится, ибо он является рядом Дирихле, в котором
. Ряд
согласно признаку Лейбница сходится. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно.

Пример 18. Исследовать на сходимость ряд
.

Этот ряд сходится абсолютно, так как ряд
– сходящийся ряд Дирихле.

При исследовании знакочередующихся рядов на сходимость можно рассуждать по следующей схеме:

Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана.

ТЕОРЕМА 10

Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся.

К примеру, если в ряде
провести перестановку членов, то ряд можно представить в виде

Итак, сумма рассматриваемого ряда уменьшилась вдвое. Это происходит потому, что при условной сходимости осуществляется взаимное погашение положительных и отрицательных членов и, следовательно, сумма ряда зависит от порядка расположения членов, а при абсолютной сходимости ряда этого не происходило.

Пример 19. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакочередующийся. Исследуем ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд
. Используя признак Коши, получаем

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости

Пусть
,
,...,
,... – последовательность функций, определенных на некотором множестве
.

Определение

Ряд вида

, (14)

членами которого являются функции, называется функциональным .

Придавая в (14) различные числовые значения из множества
, будем получать различные числовые ряды. В частности, при
из (14) получим числовой ряд
. Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если он сходится, тоназываетсяточкой сходимости функционального ряда (14) .

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через
. Очевидно,
. В частных случаях множество
может совпадать или не совпадать с множеством
или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества
.

Вид области
для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях при исследовании функциональных рядов на сходимость можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если подx понимать фиксированное число.

Определения

Сумма первых членов функционального ряда

называется
ой частичной суммой , а функция
, определенная в области
,– суммой функционального ряда .

Функция , определенная в области
, называется остатком ряда .

Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве
, если в каждой точке
сходится ряд
.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:

Если х=1,то

Если х=-1,то

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Рассмотренные в предыдущем параграфе знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов.

Мы рассмотрим здесь некоторые свойства знакопеременных рядов. При этом в отличие от соглашения, принятого в предыдущем параграфе, мы будем теперь полагать, что числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Прежде всего, дадим один важный достаточный признак сходимости зракопеременного ряда.

Теорема 1. Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Пусть - суммы первых членов рядов (1) и (2).

По условию, имеет предел и - положительные возрастающие величины, меньшие а. Следовательно, они имеют пределы Из соотношения следует, что и имеет предел и этот предел равен , т. е. знакопеременный ряд (1) сходится.

Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о сходимости знакопеременного ряда сводится в этом случае к исследованию ряда с положительными членами.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

где а - любое число.

Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды

Ряд (5) сходится (см. § 6). Члены ряда (4) не больше соответственных членов ряда (5); следовательно, ряд (4) тоже сходится. Но тогда в силу доказанной теоремы данный знакопеременный ряд (3) тоже сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряд

Этот ряд сходится, так как он является убывающей геометрической прогрессией со знаменателем 1/3. Но тогда сходится и заданный ряд (6), так как абсолютные величины его членов меньше соответствующих членов ряда (7).

Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости. знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды.

Определение. Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 3. Знакопеременный ряд является условно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, есть гармонический ряд который расходится. Сам же ряд сходится, что легко проверить с помощью признака Лейбница.

Пример 4. Знакопеременный ряд есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, как это было установлено в § 4.

С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 1 часто формулируют следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

В заключение отметим (без доказательства) следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов. Теорема 3. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, - можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.

Доказательство эти теорем выходит за рамки данного курса. Его можно найти в более подробных учебниках (см., например, Фнхтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II. - М.: Физматгиз, 1962, с. 319-320).

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда.

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

Взяв пять членов, т.е. заменивна

Сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Упражнения

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

Используя признак Лейбница, получим

т.е. ряд сходится.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Используя признак Лейбница, имеем

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

знакопеременный ряд сходимость слагаемое

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Если х=1,то

Если х=-1,то

Если х=3,то

Если х=-0,2, то

Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной рядбудет сходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда: радиус сходимости ряда: